Multiples et diviseurs

Propriété

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) . Si \(b\) divise \(a\) , alors :

• tout multiple de  \(a\) est un multiple de \(b\) , c’est-à-dire \(a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}\) ;
  
• tout diviseur de  \(b\) est un diviseur de \(a\) , c’est-à-dire \(\mathscr{D}(b) \subset \mathscr{D}(a)\) .

Exemples

• Comme  \(9\) divise \(36\) , les multiples de  \(36\) sont des multiples de  \(9\) : \(36\mathbb{Z} \subset 9\mathbb{Z}\) .
  
• Comme  \(9\) divise \(36\) , les diviseurs de  \(9\) sont des diviseurs de  \(36\) :
  \(\mathscr{D}(9) =\left\lbrace -9 \ ; -3 \ ; -1 \ ; 1 \ ; 3 \ ; 9 \right\rbrace \subset \mathscr{D}(36)\) .

Démonstration

Comme  \(b\) divise \(a\) , il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=kb\) .

• Soit  \(m\) un multiple de \(a\) , c’est-à-dire \(m \in a\mathbb{Z}\) : il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que \(m=k'a\) . On a \(m=k'a=k'(kb)=(k'k)b\) avec \(k'k \in \mathbb{Z}\) , donc  \(m\) est un multiple de \(b\) , c’est-à-dire \(m \in b\mathbb{Z}\) . Ainsi, tout multiple de  \(a\) est un multiple de \(b\) , autrement dit \(a\mathbb{Z} \subset b\mathbb{Z}\) .
• Soit  \(d\) un diviseur de \(b\) , c’est-à-dire \(d \in \mathscr{D}(b)\) : il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que \(b=k'd\) . On a \(a=kb=k(k'd)=(kk')d\) avec \(kk' \in \mathbb{Z}\) , donc  \(d\) est un diviseur de \(a\) , c’est-à-dire \(m \in \mathscr{D}(a)\) . Ainsi, tout diviseur de  \(b\) est un diviseur de \(a\) , autrement dit \(\mathscr{D}(b) \subset \mathscr{D}(a)\) .